Fast Matrix Polynomial Computations

Pour une matrice polynomiale P(x) de degr e d dans Mn;n(Kx]), o u K est un corps commutatif, une r eduction a la forme normale d'Hermite peut ^ etre calcul ee en O ~ (M(nd)) op erations arithm etiques, si M(n) est le co^ ut du produit de deux matrices n n sur K. De plus, une telle r eduction peut ^ etre obtenue en temps parall ele O(log +1 (nd)) en utilisant O(L(nd)) processeurs, si le probl eme de d eterminer le premier sous-ensemble ind ependant de l'ensemble des colonnes d'une matrice nd nd sur K, peut ^ etre r esolu en temps O(log (nd)) avec le m^ eme nombre de processeurs. Ces r esultats sont obtenus en g en eralisant au cas matriciel certaines techniques util-is ees pour le pgcd de polyn^ omes scalaires. Mots clefs : algorithmes parall eles, NC 2 K , forme normale d'Hermite, th eorie des r ealisations. Abstract. For a polynomial matrix P(x) of degree d in Mn;n(Kx]) where K is a commutative eld, a reduction to the Hermite normal form can be computed in O ~ (M(nd)) arithmetic operations if M(n) is the time required to multiply two n n matrices over K. Further, a reduction can be computed using O(log +1 (nd)) parallel arithmetic steps and O(L(nd)) processors if the same processor bound holds with time O(log (nd)) for determining the lexicographically rst maximal linearly independent subset of the set of the columns of an nd nd matrix over K. These results are obtained by applying in the matrix case, the techniques used in the scalar case of the gcd of polynomials.